Porque é que 2^0 = 1, e não 2^0 = 0?... E a que propósito 1 galáxia mais 1 galáxia são 2 galáxias?!

É porque já experimentamos que dizemos que 2 milhões + 3 milhões = 5 milhões é tão verdade quanto 2 laranjas + 3 maçãs = 5 peças de fruta?... - O conhecimento matemático, pelo menos em parte, não é empírico.

O que dá que pensar sobre o conhecimento nas ciências naturais e muitas vezes nas humanas: nestas pretende-se que a experiência é decisiva - desde Galileu a experimentar se, com efeito, corpos mais pesados caem mais depressa do que os mais leves, até aos economistas hoje na contraposição entre o postulado de que os mercados equilibram espontaneamente e a crise que vivemos. Mas também se pretende que uma grande diferença entre a ciência moderna e contemporânea, e a ciência antiga e medieval, é o uso da matemática. Cuja legitimidade porém não pode ser eminentemente empírica. Na medida em que não o é, e em que ela é usada por cada ciência, qual é então a legitimidade destas últimas?

Pode-se reunir essa família de questões nesta pergunta radical: o que é que se passa para que certas elocubrações mentais duns quantos espécimes, duma espécie tardia, num pequeno planeta, em órbita a uma estrela irrelevante, na ponta duma galáxia, entre milhões doutras, encontrem correspondência em fenómenos externos a essa actividade mental não só no planeta, mas mesmo no cosmos inteiro? (Daí a provocação da 2ª pergunta no título; a 1ª é apenas um ex. da anterior questão da legitimidade matemática).

Lembro-me que ouvi esta pergunta pela 1ª vez na sacristia da Igreja do Campo Grande, Lisboa, ao Pe. João Resina, que me emprestara um livro... fez-ma com um leve sorriso, e eu logo a remeti para a classe da demasiada areia para a minha camioneta... Continua lá! Mas voltei a passar pelo problema da fundamentação da matemática ao testar a oportunidade da minha hipótese sobre aquele que será o nó do actual problema ocidental, na cap. 5 do ensaio com o mesmo nome (referido ao lado).

O período clássico do seu enfrentamento estende-se desde 1879, com Frege, a 1931, com Gödel - é o que dizem Sten Lindström e Erik Palmgren na sua Introdução a S. Lindström et. al. (ed.), Logicism, Intuitionism, and Formalism - What Has Become of Them?, Dordrecht, Londres: Springer, 2009, pp. 1-23 (http://www.google.com/books?id=leeNa6ncWUYC&lpg=PP1&hl=sv&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false). Uma recente obra colectiva que procura aferir até que ponto as 3 grandes respostas então propostas àquele problema - logicismo, intuicionismo e formalismo - são ainda significativas. Aqui fica o registo.

E, sem pretensões de carregar esse areal na minha carripana, registarei também estas notas:

i) A 1ª daquelas respostas (Frege, Russell...) procura derivar toda a aritmética da lógica - ex. "0" (zero) deriva do conceito "distinto de si mesmo" (nenhum objecto é distinto de si). Mas esta proposta pressupõe os objectos já constituídos, satisfazendo uns e não outros predicados, etc., a montante da lógica - o que as ciências cognitivas creio que não confirmam com facilidade. (Além do reconhecimento, após os teoremas de Gödel, de que nenhuma lógica prova todas as verdades aritméticas).

ii) Desde Kant se tem reconhecido que o tempo é um bom candidato a base daquela constituição dos objectos (no referido ensaio citei 2 neurocientistas actuais na mesma pista); o intuicionismo matemático (Brouwer...), na medida em que se reporta à filosofia kantiana, talvez remonte assim aos terrenos apenas pressupostos pela resposta anterior; mas seria deitar fora o bébé com a água do banho se, para eventualmente lograr fundamentar alguma parte da matemática, se tivesse que desistir de boa parte dos avanços desta disciplina que de uma maneira ou doutra se têm revelado úteis - e muitos matemáticos têm acusado isto ao intuicionismo.

iii) Ainda não tive ocasião de estudar as objecções que têm impedido o formalismo de se substituir às 2 respostas anteriores. Mas uma limitação é óbvia - ainda que de interesse filosófico e científico (i.e. epistemológico) mas não necessariamente matemático: se esta última disciplina é um mero jogo com símbolos - como pretendem esses autores (Hilbert...) - jogo esse que, por qualquer bambúrrio da sorte, pelo que se vê depois se tem podido aplicar a muita coisa, torna-se um mistério tal aplicabilidade. E convenhamos, não fica lá muito bem dizer "Sei brincar ao 1+1, mas já não é da minha conta se isso depois corresponde a qualquer coisa das peças de fruta ou das galáxias" - Nada se impõe mais à nossa conta do que essa correspondência das nossas brincadeiras!